Piedalījies piecās ziemas olimpiskajās spēlēs (2006, 2010, 2014, 2018, 2022). 2006. gadā Turīnas olimpiskajās spēlēs viņš 18 gadu vecumā ieguva 16. vietu sacensībās no normālā tramplīna, bet sacensībās no lielā tramplīna palika 26. vietā. Komandu sacensībās Polijas komandas sastāvā ieņēma 5. vietu. 2010. gadā Vankūverā individuāli augstāko vietu izcīnīja sacensībās no lielā tramplīna (14. vieta), komandu sacensībās 6. vietu.
2014. gadā Soču ziemas olimpiskajās spēlēs K. Stohs kļuva par veiksmīgāko tramplīnlēcēju: viņš izcīnīja zelta medaļu gan sacensībās no normālā, gan no lielā tramplīna. 2018. gadāPhjončhanā kļuva par olimpisko čempionu sacensībās no lielā tramplīna un ieguva bronzu komandu sacensībās.
Ar panākumiem startējis Pasaules čempionātā 2013. gadā, kur kļuva par čempionu sacensībās no lielā tramplīna, bet komandu sacensībās Polijas izlase ierindojās 3. vietā. 2017. gada Pasaules čempionātā Lahti kļuva par pasaules čempionu komandu sacensībās. Pasaules kausa sacensībās uzvarējis 31 atsevišķā posmā, divreiz kļuvis par Pasaules kausa kopvērtējuma uzvarētāju (2013.—2014. un 2017.—2018. gada sezonā). Trīs reizes izcīnījis uzvaru Četru tramplīnu turnejā (2017., 2018. un 2021. gadā), 2018. gadā uzvarēja visos Četru tramplīnu turnejas posmos, izcīnot Grand Slam.